Bayesov teorem ili vjerojatnost uzroka

Bayesov teorem jedan je od stupova računa vjerojatnosti . To je teorija koju je iznio Thomas Bayes (1702.-1761.) u 18. stoljeću. No koja je svrha istraživanja ovog poznatog znanstvenika? Vjerojatnost izražava u slučajnom procesu omjer između broja povoljnih slučajeva i broja mogućih slučajeva.

Razvijene su mnoge teorije vjerojatnosti koje danas upravljaju našim postojanjem. Kad odemo liječniku, on nam prepiše lijek koji će se u našem slučaju najvjerojatnije pokazati korisnim, baš kao što oglašivači svoje kampanje posvećuju ljudima koji će najvjerojatnije kupiti proizvod koji žele promovirati ili turistima i putnicima koji biraju rutu na kojoj je vjerojatno najmanje čekanja u redu.

Zakon potpune vjerojatnosti jedan je od najpoznatijih, stoga prije nego što govorimo o Bayesov teorem morat ćemo posvetiti nekoliko redaka objašnjenju prvoga. Da biste to pokušali razumjeti, samo dajte primjer .

Kolika je vjerojatnost (P) da je nasumce odabrana osoba iz radnog stanovništva ove zemlje nezaposleni ?

Prema teoriji vjerojatnosti podaci bi bili izraženi na sljedeći način:

• Vjerojatnost da je osoba ženskog spola: P (M)
• Vjerojatnost da je osoba muškarac: P (H)

Znajući da 39% stanovništva čine žene, zaključujemo da je: P (M) = 039.

Stoga je jasno da je: P (H) = 1 – 039 = 061. Problem postavljen na početku daje nam i uvjetne vjerojatnosti:

• Vjerojatnost da je osoba nezaposlena znajući da je žena -> P (P | M) = 022
• Vjerojatnost da je osoba nezaposlena znajući da je muškarac – P (P | H) = 014

Korištenje zakon potpune vjerojatnosti imat ćemo:

P (P) = P (M) P (P | M) P (H) P (P | H)

P (P) = 022 × 039 014 × 061

P (P) = 017

The . Primjećujemo da je rezultat na pola puta između dvije uvjetne vjerojatnosti (022<017 <014). Inoltre è più prossimo al valore degli uomini perché nella popolazione di questo paese immaginario sono la maggioranza.

Otkrijmo Bayesov teorem

Sada pretpostavimo da je odrasla osoba nasumično odabrana da ispuni obrazac, a primijeti se da nema posao. U ovom slučaju i uzimajući u obzir prethodni primjer, koja je vjerojatnost da je ova nasumično odabrana osoba žena -P (M | P) -?

Za rješavanje ovog problema primijenit ćemo Bayesov teorem koji se koristi za izračunavanje vjerojatnosti događaja tako što se unaprijed imaju informacije o njemu . Možemo izračunati vjerojatnosti događaja A znajući da on zadovoljava određene karakteristike (B).

U ovom slučaju govorimo o vjerojatnosti da je nasumično odabrana osoba za ispunjavanje obrasca žena. Ali to

Formula Bayesovog teorema

Kao i svakom drugom teoremu potrebna nam je formula.

Čini se komplicirano, ali sve ima objašnjenje. Razmišljajmo u dijelovima. Što svako slovo znači?

B je događajo čemu imamo preliminarne informacije.
• L slovo A (n) odnosi se na različite uvjetovane događaje.
• U dijelu brojnika imamo uvjetna vjerojatnost . Ovo se odnosi na vjerojatnost da će se nešto (događaj A) dogoditi znajući da će se također dogoditi drugi događaj (B). Definira se kao P (A | B) i izražava se kao: Vjerojatnost A s obzirom na B .
• U nazivniku imamo ekvivalent P (B) i slijedi isto objašnjenje kao i prethodna točka.

Primjer

Vraćajući se na prethodni primjer pretpostavimo da je odrasla osoba nasumično odabrana da ispuni upitnik i primijeti se da je nezaposleni . Kakve su šanse da ta odabrana osoba bude žensko?

Znamo da 39% aktivnog stanovništva čine žene dok ostatak čine muškarci . Također znamo da je postotak nezaposlenih žena 22%, a muškaraca 14%.

Na kraju također znamo da je vjerojatnost da je nasumce odabrana osoba nezaposlena 017. Ako primijenimo formulu Bayesovog teorema rezultat koji ćemo dobiti je da postoji vjerojatnost 05 da nasumično odabrana osoba među nezaposlenima

P (M | P) = (P (M) * P (P | M) / P (P)) = (022 * 039) / 017 = 05

Bayesov teorem proizlazi iz konjunkcije teorema složene i apsolutne vjerojatnosti koje smo objasnili na početku. Njegova glavna značajka je da radi u svim interpretacijama vjerojatnosti.

Budući da se može koristiti za izračunavanje vjerojatnosti uzroka koji je pokrenuo događaj njegova važnost leži u načinu na koji je povijesno utjecao na proučavanje statistike . Danas su zapravo poznate dvije glavne škole (jedna frekventistička i druga Bayesovska) koje se međusobno suprotstavljaju počevši od tumačenja danog ovoj teoriji.

Završavamo sa zanimljivošću: jeste li znali da elektronički spam (onaj od Internet oglasi putem e-pošte) funkcionira li zahvaljujući Bayesovom teoremu?